R. A. Fisher foi um dos fundadores da Estatística moderna.

Em um de seus famosos experimentos, ele testou a capacidade de uma senhora em distinguir se a xícara estava servida com o leite colocado antes ou depois do chá.

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Como planejar um experimento para testar a capacidade da pessoa distinguir se o chá foi preparado com leite primeiro ou por último?

• Como lidar com variações na temperatura do chá, quantidade de açúcar, entre outras?

• Quantas xícaras devem ser usadas no teste? Qual a ordem de apresentação dessas xícaras?

• Qual conclusão iremos tirar caso a pessoa erre somente uma vez? Ou duas vezes?

• 8 xícaras: 4 com chá colocado antes do leite e 4 com leite antes do chá.

• As oito xícaras foram apresentadas em ordem aleatória para a senhora, mas a informação de que eram 4 de cada tipo foi passada a ela.

• A senhora deveria provar a bebida das oito xícaras e escolher as 4 xícaras que acreditava estar com chá primeiro.

• Verificou-se quantas dentre as 4 xícaras ela escolheu corretamente.

• Quais os resultados possíveis do experimento?

• Tarefa da senhora: escolher as 4 xícaras com chá primeiro.

• São 8 xícaras: 4 com leite primeiro e 4 com chá primeiro.

• A senhora escolhe 4 dentre 8, sem reposição.

• De quantas formas ela pode fazer isso, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{8}{4}=70\]

• É possível que ela escolha as 4 corretamente: 4 com chá primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 4 corretas?

• Para escolher 4 corretas, duas coisas devem ocorrer: escolher 4 com chá primeiro (dentre 4 com chá primeiro) e não escolher nenhuma dentre as 4 com leite primeiro.

• De quantas formas é possível fazer isso, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{4}{4}\binom{4}{0}=1\]

• É possível que ela escolha 3 corretamente: 3 com chá primeiro e 1 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 3 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{4}{3}\binom{4}{1}=16\]

• É possível que ela escolha 2 corretamente: 2 com chá primeiro e 2 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 2 corretas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{4}{2}\binom{4}{2}=36\]

• É possível que ela escolha 1 corretamente: 1 com chá primeiro e 3 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode escolher 1 correta, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{4}{1}\binom{4}{3}=16\]

• É possível que ela erre todas: 0 com chá primeiro e 4 com leite primeiro.

• De quantas formas ela pode errar todas, caso ela de fato não saiba distinguir e esteja fazendo tudo ao acaso?

\[\binom{4}{0}\binom{4}{4}=1\]

• \(H_0\): A senhora não consegue distinguir entre chá ou leite primeiro e escolhe ao acaso durante o experimento.

• \(H_a\): A senhora consegue distinguir.

• Estatística do teste: Total de acertos (\(X\))

• Para decidir, precisamos primeiramente da distribuição de probabilidade da estatística do teste quando \(H_0\) é verdadeira.

• População dividida em duas características

• Extrações casuais sem reposição

• \(N\) objetos

• \(r\) têm a característica A

• \(N-r\) têm a característica B

• um grupo de \(n\) elementos é escolhido ao acaso, dentre os \(N\) possíveis, sem reposição.

Queremos calcular a probabilidade de que este grupo de \(n\) elementos contenha \(x\) elementos com a característica A.

Como decidir se rejeitamos ou não \(H_0\) de acordo com a estatística do teste observada?

Como decidir se rejeitamos a hipótese de que a senhora não consegue distinguir os chás, sendo que ela acertou, por exemplo, 3? Se ela tivesse acertado todas as 4 xícaras? Seria por pura sorte? Ou ela tem algum conhecimento?

Calculamos a probabilidade de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se o valor-de-p obtido é bem pequeno, por exemplo, 0.01, isto quer dizer que se \(H_0\) é verdadeira, então seria incomum obter uma amostra com os resultados como o observado.

Um valor-de-p muito baixo traz fortes evidências contra \(H_0\).

Se a senhora acertou 3 xícaras:

\[P(X=3) = \frac{\binom{4}{3}\binom{4}{1}}{\binom{8}{4}}=8/35 \]

Calculamos a probabilidade de um valor igual ou mais extremo ao da estatística do teste observada (valor-de-p). Mais extremo: mais evidência contra \(H_0\).

Se a senhora tivesse acertado 4, seria ainda mais evidência contra \(H_0\), de forma que o valor de p é calculado como:

\[P(X=3)+P(X=4)=8/35 + 1/70 = 17/70\]

Se este valor for considerado alto, não temos evidências, baseando-se no experimento realizado, para rejeitar \(H_0\).

Conhecemos agora a distribuição de probabilidade da estatística do teste sob \(H_0\). Agora, para a \(H_a\) de interesse, podemos calcular o valor de \(p\).

\(H_a\): \(p1<p_2\), isto é \(P(gripe|vacina)<P(gripe|semvacina)\)

O valor de \(p\) é calculado como \(P(X\leq x_{obs})=P\left(X\leq \frac{1}{6}-\frac{4}{8}\right)=P(X=x_1)+P(X=x_2)=\frac{420}{2002}+\frac{56}{2002}\)

Conhecemos agora a distribuição de probabilidade da estatística do teste sob \(H_0\). Agora, para a \(H_a\) de interesse, podemos calcular o valor de \(p\).

\(H_a\): \(p1>p_2\), isto é \(P(gripe|vacina)>P(gripe|semvacina)\)

O valor de \(p\) é calculado como

\[ \begin{eqnarray} P(X\geq x_{obs})&=&P\left(X\geq \frac{1}{6}-\frac{4}{8}\right)=P(X=x_1)+P(X=x_3)+P(X=x_4)\\ &+&P(X=x_5)+P(X=x_6)=1-P(X=x_2)=1-\frac{\binom{6}{0}\times\binom{8}{5}}{\binom{14}{5}}\\ &=&1-\frac{56}{2002} \end{eqnarray} \]

Conhecemos agora a distribuição de probabilidade da estatística do teste sob \(H_0\). Agora, para a \(H_a\) de interesse, podemos calcular o valor de \(p\).

\(H_a\): \(p1\neq p_2\), isto é \(P(gripe|vacina)\neq P(gripe|semvacina)\)

O valor de \(p\) é calculado como

\[ \begin{eqnarray} P(X\geq |x_{obs}|)+P(X\leq -|x_{obs}|)=P\left(X\geq \left |\frac{1}{6}-\frac{4}{8}\right|\right)+P\left(X\leq -\left|\frac{1}{6}-\frac{4}{8}\right|\right) \end{eqnarray} \]